| PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THIỆU HÓA |
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
HỌC SINH GIỎI LỚP 8 LẦN 1 NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn thi: Toán – Lớp 8 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 9 câu, gồm 01 trang) |
Câu 1: (2.0 điểm) Rút gọn biểu thức:
(với )
Câu 2: (2.0 điểm) Cho các số thực thỏa mãn Tính giá trị biểu thức
Câu 3: (2.0 điểm) Giải phương trình:
Câu 4: (2.0 điểm) Cho là các số nguyên dương thoả mãn: . Chứng minh rằng là hợp số.
Câu 5: (2.0 điểm) Tìm x, y nguyên thoả mãn:
Câu 6: (1.5 điểm) Một vé xem phim có giá 75 nghìn đồng. Khi có đợt giảm giá, mỗi ngày số lượng người xem tăng lên 25%, do đó doanh thu cũng tăng 20% so với trước. Hỏi giá vé khi được giảm là bao nhiêu?
Câu 7: (1.5 điểm) Con robot của bạn An được lập trình có thể đi thẳng, quay trái hoặc
sang phải một góc . Trong cuộc thi “Phát động tài năng”, con robot của bạn An xuất
phát từ điểm đi thẳng m, rồi quay sang trái đi thẳng m, sau đó quay sang phải rồi đi
thẳng m, rồi tiếp tục quay sang trái đi thẳng m đến . Hãy tính khoảng cách .
Câu 8: (5.5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Qua điểm A kẻ đường thẳng d vuông góc với AC, đường thẳng d cắt tia CD tại E. Kẻ DK vuông góc với AE (K thuộc AE).
1) Chứng minh: Tam giác KDA đồng dạng với tam giác DAC và
2) Gọi P là giao điểm của OE và KD. Chứng minh rằng: PK = PD
3) Chứng minh ba đường thẳng CK, AD, OE cùng đi qua một điểm.
Câu 9: (1.5 điểm) Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
………………………………..Hết……………………………………
Họ tên thí sinh:………………………………………… Số báo danh:……………..
Giám thị không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Hướng dẫn chấm này có 05 trang
- Yêu cầu chung:
- Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.
- Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm.
- Yêu cầu cụ thể:
| CÂU | Hướng dẫn chấm | Điểm | |||||||||||
|
1 (2đ) |
Ta có:
ĐKXĐ: Khi đó: |
0,5đ | |||||||||||
| 0,5đ | |||||||||||||
| 0.75đ | |||||||||||||
| KL:Vậy với | 0,25đ | ||||||||||||
| 2
(2đ) |
Từ giả thiết ta được | 0,5đ | |||||||||||
| 0,5đ
|
|||||||||||||
| Ta có . | 0,5đ | ||||||||||||
| Từ đó suy ra do vậy ta được | 0,5đ | ||||||||||||
| 3
(2đ) |
b) | 0.5đ | |||||||||||
| Đặt
Phương trình: |
0.5đ | ||||||||||||
| 0.75đ
|
|||||||||||||
| Vậy: | 0.25đ | ||||||||||||
| 4
(2đ) |
Xét | 0,5đ | |||||||||||
| Vì là số nguyên dương nên là hai số tự nhiên liên tiếp | 0,25đ | ||||||||||||
| Tương tự ta có đều chia hết cho 2
là số chẵn. |
0.5đ | ||||||||||||
| Ta có: là số chẵn
Do đó là số chẵn. |
0,5đ | ||||||||||||
| Mà
Vậy là hợp số. |
0,25đ
|
||||||||||||
| 5
(2đ) |
0.25đ | ||||||||||||
| Đặt , khi đó:
|
0.5đ | ||||||||||||
| Ta có bảng sau:
|
0.5đ | ||||||||||||
| +) không có thoả mãn | 0.25đ | ||||||||||||
| +) | 0.25đ | ||||||||||||
| Vậy | 0.25đ | ||||||||||||
| 6
(1.5đ) |
Gọi x là số vé bán ra trước khi khuyến mãi (). | 0,25đ | |||||||||||
| Sau khi có khuyến mãi, số vé bán ra là:
. |
0.5đ | ||||||||||||
| Doanh thu trước khuyến mãi: 75x | 0,25đ | ||||||||||||
| Gọi y là giá vé khi có khuyến mãi () (đơn vị nghìn đồng).
Doanh thu khi có khuyến mãi là: . |
0,25đ | ||||||||||||
| Vậy giá bán vé khi có khuyến mãi là 72 nghìn đồng. | 0.25đ | ||||||||||||
| 7
(1.5đ) |
Hình minh hoạ |
0,25đ
|
|||||||||||
| Xét vuông tại C , ta có:
Tương tự: |
0.5đ | ||||||||||||
| Chứng minh :
Do đó: suy ra A, D, E thẳng hàng |
0.5đ | ||||||||||||
| Do đó: AB = AD + DB = 5 + 5 = 10 (m)
Vậy khoảng cách từ A đến B là. |
0.25đ
|
||||||||||||
| 8
(5.5đ) |
1.
+) KD//AC (cùng vuông góc với AE) (so le trong) ᔕ (g-g) Vì ()
|
1,0đ |
|||||||||||
| +) Có (cùng phụ với góc DAC)
ᔕ (g-g)
|
1,0đ |
||||||||||||
| 2.
Vì KP//AO |
0.5đ |
||||||||||||
| Vì DP//CO
|
0.5đ | ||||||||||||
| 0.5đ | |||||||||||||
| Vì ABCD là hình chữ nhật nên OA = OC | 0.5đ | ||||||||||||
| 3.
Gọi N là giao điểm của AD cà OE. Vì KD//AC |
0.5đ |
||||||||||||
| ᔕ (c-g-c) | 0.5đ | ||||||||||||
| thẳng hàng
Þ CK, AD, OE cùng đi qua điểm N.
|
0.5đ
|
||||||||||||
| 9
(1.5đ) |
0.25đ |
||||||||||||
| (1) |
0.5đ |
||||||||||||
| Tương tự ta có: (2); (3) |
0.25đ |
||||||||||||
| 0,25đ | |||||||||||||
| Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1 | 0,25đ
|
Chú ý:
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.
4) Bài hình học sinh không vẽ hình thì không chấm điểm.
5) Bài hình thực tế ( bài số 7) là tính khoảng cách AB chứ ko phải tính quãng đường đi của robot, do đó nếu HS tính AB = 10(m) mà ko chứng minh thẳng hàng thì chỉ cho 0,75 đ.
